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CAD、CAE 与工业软件计算链

这部分整理《并行计算与工业软件》前两页中重复出现的 CAD/CAE 笔记，并补足曲线表示与数值仿真之间的联系。

1. CAD 中的边界表示

手写笔记首先记录了 B-rep（Boundary Representation，边界表示）。它不直接用体内所有点描述实体，而是用顶点、边、面及其拓扑关系围成一个实体。

一个 CAD 模型因此同时包含：

  • 几何信息：点的位置、曲线和曲面的参数方程；
  • 拓扑信息：哪些边属于哪个面、哪些面围成一个壳、壳是否闭合；
  • 容差信息：数值计算中两个理论上重合的点或边允许多大偏差。

布尔并、交、差并不只是集合运算。软件还需要计算曲面交线、切割原有面片、更新拓扑关系，并处理浮点误差造成的微小裂缝。因此，笔记中的“求交、求并”实际上是几何算法与鲁棒数值计算的结合。

2. Bézier 曲线

\(n\) 次 Bernstein 基函数为

\[ B_{i,n}(u)=\binom{n}{i}u^i(1-u)^{n-i}, \qquad i=0,\ldots,n,quad u\in[0,1]. \]

控制点为 \(P_0,\ldots,P_n\) 时，Bézier 曲线写成

\[ C(u)=\sum_{i=0}^{n}P_iB_{i,n}(u). \]

这些基函数满足非负性与单位分解：

\[ B_{i,n}(u)\ge 0, \qquad \sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(u)=1. \]

所以 \(C(u)\) 是控制点的凸组合，曲线位于控制多边形的凸包内。端点还满足 \(C(0)=P_0\)、\(C(1)=P_n\)。这让设计者可以直观地移动控制点来修改形状。

Bézier 曲线的局限是**全局影响**：移动一个控制点通常会影响整条曲线。高次数曲线还会带来数值稳定性和形状控制上的困难，这正是 B-spline 出现的背景。

3. B-spline 与局部支撑

给定非降节点序列 \(u_0\le \cdots\le u_m\)，零次 B-spline 基函数定义为

\[ N_{i,0}(u)= \begin{cases} 1, & u_i\le u

高次基函数由 Cox-de Boor 递推得到：

\[ N_{i,p}(u)= \frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u), \]

其中分母为零的项按零处理。曲线为

\[ C(u)=\sum_i P_iN_{i,p}(u). \]

与单段 Bézier 曲线相比，B-spline 的关键优势是**局部支撑**：\(N_{i,p}\) 只在区间 \([u_i,u_{i+p+1})\) 上非零。移动 \(P_i\) 只影响这一小段参数区间，因此更适合复杂工业曲线的局部修改。

4. 有理 B-spline 与 NURBS

原笔记记录了带权的有理形式：

\[ C(u)= \frac{\sum_i w_iP_iN_{i,p}(u)} {\sum_i w_iN_{i,p}(u)}. \]

把新的有理基函数记为

\[ R_{i,p}(u)= \frac{w_iN_{i,p}(u)}{\sum_jw_jN_{j,p}(u)}, \]

便有 \(C(u)=\sum_iP_iR_{i,p}(u)\)。这就是 NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）的基本形式。

权重 \(w_i\) 控制曲线被控制点 \(P_i\)“吸引”的程度。有理形式能精确表示圆锥曲线，因此圆、椭圆和自由曲面可以放在同一套表示框架内。“Non-Uniform”表示节点间距不必均匀，使局部参数化更加灵活。

5. 从 CAD 到 CAE

原笔记用“打网格、做计算、转化为 \(Ax=b\)”概括 CAE。展开后可写成：

\[ \widetilde\Omega \longrightarrow \mathcal M_h \longrightarrow V_h \longrightarrow (A,b) \longrightarrow x \longrightarrow u_h. \]

各符号的含义是：

  1. \(\widetilde\Omega\)：CAD 提供的近似几何域；
  2. \(\mathcal M_h\)：在几何域上生成的网格；
  3. \(V_h\)：由网格和基函数构成的有限维试探空间；
  4. \((A,b)\)：离散后得到的矩阵和右端项；
  5. \(x\)：基函数系数；
  6. \(u_h\)：由系数重建的数值解。

以抽象变分问题为例，连续问题是：求 \(u\in V\)，使

\[ a(u,v)=\ell(v),\qquad \forall v\in V. \]

选取有限维子空间 \(V_h=\operatorname{span}\{\phi_1,\ldots,\phi_N\}\)，令

\[ u_h=\sum_{j=1}^{N}x_j\phi_j. \]

分别取 \(v_h=\phi_i\)，便得到

\[ \sum_{j=1}^{N}a(\phi_j,\phi_i)x_j=\ell(\phi_i), \]

也就是

\[ Ax=b, \qquad A_{ij}=a(\phi_j,\phi_i), \qquad b_i=\ell(\phi_i). \]

这解释了为什么工业仿真最终会落到大型稀疏线性方程组上。矩阵 \(A\) 的条件数 \(\kappa(A)\) 会影响迭代收敛速度和舍入误差放大程度；网格越细，未知量越多，条件数通常也会恶化，因此需要预条件与并行求解。

6. 几何误差不能被忽略

CAD 到 CAE 之间存在一个容易漏掉的误差来源：计算域本身可能已经是对真实几何 \(\Omega\) 的近似。总误差可以粗略理解为

\[ \text{total error} \approx \text{geometry error} +\text{discretization error} +\text{algebraic solver error} +\text{roundoff error}. \]

如果几何清理、网格质量或边界标记有问题，即使线性方程组被求得很精确，最终物理解仍可能不可靠。这也是工业软件中“前处理”往往占据大量工作的原因。

7. 与后续笔记的衔接