数学分析与高等代数——做过的习题
定位：其实这是一个习题集 整理日期：2026-04-16 版本：v3.0
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任务清单标记说明
- [ ] 未开始 - 需要复习或补充的题目
- [~] 进行中 - 已部分理解，需深入
- [x] 已完成 - 已掌握可独立解答
复习建议
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- 对 [~] 题目重点突破薄弱环节
- 定期回顾 [x] 题目防止遗忘
目录
第一部分：数学分析（27题）
| 题号 | 题目 | 难度 | 状态 | 标签 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 正项级数与对数不等式 | 中 | [ ] | 级数、不等式 |
| 2 | Hardy不等式 | 高 | [ ] | 积分不等式、PDE |
| 3 | Wirtinger不等式 | 中 | [ ] | Fourier分析 |
| 4 | 凸函数的积分不等式 | 中 | [ ] | 凸分析、Taylor展开 |
| 5 | 微分不等式与零点唯一性 | 高 | [ ] | 延拓方法、Gronwall |
| 6 | 积分不等式 | 中 | [ ] | 双重积分、对称性 |
| 7 | Wallis积分与渐近分析 | 中 | [ ] | 斯特林公式、双阶乘 |
| 8 | 递推数列取整问题 | 高 | [ ] | Pisot数、Beatty序列 |
| 9 | Leibniz级数 | 低 | [ ] | 幂级数展开 |
| 10 | 递推数列收敛性 | 中 | [ ] | 压缩映射 |
| 11 | 正交性条件与零点 | 高 | [ ] | 正交多项式 |
| 12 | 渐近积分极限 | 高 | [ ] | 渐近分析、分部积分 |
| 13 | Bell数与指数生成函数 | 中 | [ ] | 组合数学、生成函数 |
| 14 | 高斯函数的傅里叶变换 | 中 | [ ] | 傅里叶分析 |
| 15 | Poisson核对数积分 | 中 | [ ] | 复分析、留数 |
| 16 | 极限与积分 | 中 | [ ] | 大数定律、概率极限 |
| 17 | 变分问题 | 中 | [ ] | Euler-Lagrange方程 |
| 18 | 球平均函数与调和函数 | 高 | [ ] | 调和分析、散度定理 |
| 19 | 对数积分与三角函数 | 中 | [ ] | 积分技巧 |
| 20 | 高斯型渐近估计 | 高 | [ ] | 渐近方法、Laplace方法 |
| 21 | Van der Waerden 型函数 | 高 | [ ] | 无处可微函数 |
| 22 | 含参积分的渐近分析 | 高 | [ ] | 渐近分析、Gamma函数 |
| 23 | 一致连续的振幅刻画 | 中 | [ ] | 一致连续性 |
| 24 | 左导数零点存在性 | 中 | [ ] | Rolle定理推广 |
| 25 | 积分极限计算 | 中 | [ ] | 渐近计算 |
| 26 | 含参积分的一致收敛性 | 中 | [ ] | Dirichlet判别法 |
| 27 | 补充积分不等式 | 中 | [ ] | 积分估计 |
第二部分：高等代数（23题）
| 题号 | 题目 | 难度 | 状态 | 标签 |
|---|---|---|---|---|
| 28 | 矩阵交换子恒等式 | 高 | [ ] | 李代数、PBW定理 |
| 29 | 矩阵方程与若尔当标准型 | 高 | [ ] | 矩阵函数 |
| 30 | 中心化子结构 | 高 | [ ] | 若尔当标准型 |
| 31 | 正定矩阵的交换性 | 中 | [ ] | 谱理论 |
| 32 | Sylvester方程 | 中 | [ ] | 矩阵方程 |
| 33 | 友矩阵的可对角化 | 中 | [ ] | 特征多项式 |
| 34 | 线性变换与域结构 | 高 | [ ] | 域论、商环 |
| 35 | 矩阵方程的推导 | 低 | [ ] | 反例构造 |
| 36 | 张量积同构 | 中 | [ ] | 多重线性代数 |
| 37 | 级数子序列和 | 中 | [ ] | 贪心算法 |
| 38 | 对称矩阵的特征性质 | 中 | [ ] | 谱定理、二次型 |
| 39 | 压缩映射与不动点 | 中 | [ ] | 泛函分析 |
| 40 | 级数收敛性判别 | 高 | [ ] | 渐近分析 |
| 41 | 整系数多项式的整数根 | 中 | [ ] | 数论、模运算 |
| 42 | 概率级数恒等式 | 中 | [ ] | 概率论、级数 |
| 43 | 矩阵方程解空间维数 | 高 | [ ] | Sylvester方程 |
| 44 | 伴随矩阵的秩一表示 | 中 | [ ] | 伴随矩阵 |
| 45 | 不变子空间的正交补 | 中 | [ ] | 伴随变换 |
| 46 | λ-矩阵的等价标准形 | 中 | [ ] | λ-矩阵 |
| 47 | 根的对称多项式 | 低 | [ ] | Vieta公式 |
| 48 | 矩阵秩与方程等价性 | 中 | [ ] | 矩阵秩 |
| 49 | 分块矩阵的行列式公式 | 中 | [ ] | 行列式 |
| 50 | 含参积分的极限问题 | 中 | [ ] | 含参积分 |
第三部分：中科院历年真题库
收录中国科学院大学数学保研笔试真题（2017–2024），见下文各年份分节。
第一部分：已整理习题
一、数学分析
1. 正项级数与对数不等式
题目
设 \(\{a_n\}\) 为正项级数，满足 \(a_n \leq M\)（\(M\) 为常数），\(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\) 为前 \(n\) 项和。
分析
本命题涉及正项级数的放缩技巧，核心工具是对数不等式 \(\ln t > t-1\)（\(t>0, t\neq 1\)）。
解答
步骤1：前 \(n\) 项和的极限趋势
需证明 \(\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty\)（结合正项级数及后续级数收敛性反推和的无界性）。
步骤2：级数 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{S_n}\) 的分析
利用正项级数的放缩：对任意 \(N, N'\)（\(N' > N\)），有
（因 \(S_n = S_{n-1} + a_n \leq S_{n-1} + M\)，递推得 \(S_n \leq M+n\)，故分母可放缩为 \(M+N\) 类常数，分子为部分和）。
步骤3：利用对数不等式分析级数 \(\sum\left(\frac{S_{n+1}}{S_n} - 1\right)\)
由对数函数的不等式 \(\ln t > t-1\)（\(t>0, t\neq 1\)），令 \(t = \frac{S_{n+1}}{S_n}\)，则
对 \(n\) 从 \(1\) 到 \(\infty\) 求和，得
右侧级数为 望远镜级数（telescoping series），化简得
（因 \(S_n \to +\infty\)，故 \(\ln S_n \to +\infty\)）。
步骤4：辅助不等式与级数收敛性
当 \(t < 1\) 时，有 \(1-t > -\ln t\)（如令 \(t = \frac{S_n}{S_{n+1}}\)，则 \(1 - \frac{S_n}{S_{n+1}} > \ln\frac{S_{n+1}}{S_n}\)）。
2. Hardy不等式
题目
设 \(u \in C_c^1(\mathbb{R}^3)\)，证明
其中常数 \(4\) 是最优的，等号不可达。
分析
这是偏微分方程和调和分析中的经典不等式。证明思路是利用变分法，通过构造适当的向量场并优化参数来得到最佳常数。
解答
设 \(Su = \frac{xu}{|x|^2}\)，\(Au = \nabla u\)。
由 \(0 \leq \int |Su + kAu|^2\)，展开得：
计算交叉项：
利用分部积分和 \(\nabla \cdot \left(\frac{x}{|x|^2}\right) = \frac{1}{|x|^2}\)（三维），得：
因此：
即：
当 \(k > 1\) 时：
优化 \(k\)：令 \(f(k) = \frac{k^2}{k-1}\)，则 \(f'(k) = \frac{k^2-2k}{(k-1)^2} = 0\) 得 \(k=2\)。
此时 \(f(2) = 4\)，即最佳常数为 \(4\)。
3. Wirtinger不等式
题目
设 \(f \in C^1[0,2\pi]\)，满足 \(f(0) = f(2\pi)\) 且 \(\int_0^{2\pi} f(x)\, dx = 0\)，证明
等号当且仅当 \(f(x) = a\cos x + b\sin x\) 时成立。
分析
该不等式表明：零均值的周期函数，其 \(L^2\) 范数被导数的 \(L^2\) 范数控制。证明使用Fourier级数展开是最自然的方法。
解答
将 \(f\) 展开为Fourier级数：
（因 \(\int_0^{2\pi} f = 0\)，常数项 \(a_0 = 0\)）。
由Parseval等式：
对导数 \(f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n(-a_n \sin nx + b_n \cos nx)\)，有：
相减得：
等号当且仅当 \(a_n = b_n = 0\) 对所有 \(n \geq 2\) 成立，即 \(f(x) = a_1\cos x + b_1\sin x\)。
4. 凸函数的积分不等式
题目
设 \(f \in C^2[a,b]\)，且 \(f''(x) > 0\) 在 \([a,b]\) 上成立（即 \(f\) 严格凸），证明
分析
这是Jensen不等式在积分形式下的特例，表明严格凸函数在区间上的平均值大于其在区间中点处的值。
解答
在 \(x_0 = \frac{a+b}{2}\) 处对 \(f(x)\) 进行Taylor展开：
其中 \(\xi_x\) 介于 \(x\) 与 \(x_0\) 之间。
两边在 \([a,b]\) 上积分：
由于 \(x_0\) 是中点，有 \(\int_a^b (x-x_0)\, dx = 0\)。
由积分中值定理，存在 \(\xi \in [a,b]\) 使得：
因此：
由于 \(f''(\xi) > 0\)，得：
5. 微分不等式与零点唯一性
题目
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可微，且 \(f(0) = 0\)。若存在常数 \(K > 0\)，使得对任意 \(x \in [0,1]\) 有
证明：\(f(x) \equiv 0\) 在 \([0,1]\) 上成立。
分析
这是从局部到全局延拓的典型问题。核心思想是利用集合的连通性：证明零点集既开又闭，从而等于整个区间。
解答
方法一：集合连通性法
定义关键集合：
1. 非空性：\(0 \in E\)，因为 \(f(0) = 0\)。
2. 闭性：设 \(x_n \in E\) 且 \(x_n \to x_0 \in [0,1]\)。对任意 \(t \in [0,x_0)\)，存在 \(N\) 使当 \(n > N\) 时 \(t < x_n\)，从而 \(f(t) = 0\)。由 \(f\) 在 \(x_0\) 连续得 \(f(x_0) = 0\)，故 \(x_0 \in E\)。
3. 开性：若 \(x_0 \in E\) 且 \(x_0 < 1\)，需证存在 \(\delta > 0\) 使 \([x_0, x_0+\delta) \subset E\)。
考虑函数 \(g(x) = f(x+x_0)\)，定义在 \([0, 1-x_0]\) 上。则 \(g(0) = f(x_0) = 0\)，且
对 \(x \in [0, \delta]\)，有
令 \(M(x) = \int_0^x |g(t)|\, dt\)，则 \(M'(x) \leq K M(x)\)，且 \(M(0) = 0\)。
由Gronwall不等式，\(M(x) \leq M(0) e^{Kx} = 0\)，故 \(M(x) \equiv 0\)，从而 \(g(x) \equiv 0\) 在 \([0,\delta]\) 上。
因此 \(f(x) = 0\) 对 \(x \in [x_0, x_0+\delta]\) 成立。
4. 连通性结论：\(E\) 是 \([0,1]\) 的非空既开又闭子集，而 \([0,1]\) 连通，故 \(E = [0,1]\)。
6. 积分不等式
题目
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可积，证明
分析
这个不等式涉及双重积分与单积分的关系。关键观察是利用 \(|a+b|\) 的展开和对称性。
解答
利用恒等式：
积分后：
原不等式等价于证明：
记 \(P = \{x : f(x) \geq 0\}\)，\(N = \{x : f(x) < 0\}\)，设 \(|P| = p\)，\(|N| = 1-p\)。
令 \(A = \int_P |f|\)，\(B = \int_N |f|\)，则 \(\int |f| = A + B\)。
交叉项：
需证 \(A + B \geq 2\min(Bp, A(1-p))\)，这在 \(p = \frac{1}{2}\) 时取等，其他情况可由对称性验证成立。
7. Wallis积分与渐近分析
题目
设 \(I_n = \int_0^{\pi} \sin^n x\, dx\)，求： 1. \(I_n\) 的通项公式 2. 双阶乘比 \(\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\) 的渐近行为
分析
Wallis积分是计算含三角函数幂次积分的经典方法，通过分部积分建立递推关系。结合斯特林公式可得双阶乘的渐近行为。
解答
Part 1：Wallis积分的递推公式
利用分部积分：
由 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)，得：
整理得递推公式：
初始条件：
迭代可得通项公式：
Part 2：双阶乘的渐近行为
双阶乘定义：
利用斯特林公式 \(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\)：
因此：
8. 递推数列取整问题
题目
定义数列 \(\{x_n\}\) 满足
其中 \([\cdot]\) 表示Gauss取整函数。求 \(x_n\) 的渐近行为。
分析
这是涉及取整函数的非线性递推问题。关键观察是将其转化为关于Pisot数的递推。
解答
令 \(\alpha = \sqrt{5}\)，\(\lambda = 3 + \sqrt{5} \approx 5.236\)。
递推式可改写为：
因此 \(x_{n+1} = [\lambda x_n]\)。
令 \(\lambda' = 3 - \sqrt{5} \approx 0.764\) 为 \(\lambda\) 的共轭，满足 \(\lambda\lambda' = 4\) 且 \(0 < \lambda' < 1\)。
由于 \(\lambda\) 是Pisot数（共轭模小于1），序列 \(x_n\) 的渐近行为满足：
更精确地，可以证明：
其中 \(\delta_n\) 是有界修正项。
前几项验证：\(x_0=1, x_1=5, x_2=26, x_3=136, x_4=712\)。
9. Leibniz级数
题目
求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n-1}\)
解答
利用 \(\arctan x\) 的Taylor展开：
令 \(x = 1\)，得：
因此：
10. 递推数列收敛性
题目
设 \(x_{n+1}=\frac{1}{x_n+2}\)，\(x_0=1\)，证明数列收敛并求极限。
解答
Step 1：证明压缩性
对任意 \(m, n\)：
由于 \(x_0=1>0\)，归纳得所有 \(x_n>0\)，故 \((x_m+2)(x_n+2) > 4\)。
因此：
这是**压缩映射**，数列为 Cauchy 列，故收敛。
Step 2：求极限
设 \(\lim x_n = L\)，则 \(L = \frac{1}{L+2}\)，即 \(L^2+2L-1=0\)。
解得 \(L = -1+\sqrt{2}\)（取正根）。
11. 正交性条件与零点
题目
\(f\) 在 \((a,b)\) 上有 \(n\) 个不同零点，\(\int_a^b x^k f(x)dx=0\) 对 \(k=0,1,\ldots,n-1\) 成立，证明 \(f\equiv 0\)。
解答
证明：设 \(f \not\equiv 0\)，零点为 \(a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < b\)。
构造 \(p(x) = (x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) \in \mathcal{P}_n\)。
关键观察：\(p(x)\) 和 \(f(x)\) 在每个 \(x_i\) 处都变号，故 \(p(x)f(x)\) 在 \((a,b)\) 上**不变号**（非负或非正）。
由正交条件：
（因 \(p\) 可表为 \(1,x,\ldots,x^{n-1}\) 的线性组合）
故 \(p(x)f(x) \equiv 0\)，即 \(f \equiv 0\)。
12. 渐近积分极限
题目
求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left(n\int_0^1 x^n f(x)dx - f(1)\right)\)，其中 \(f\in C^1[0,1]\)。
解答
Step 1：分部积分
Step 2：展开 \(nI_n\)
Step 3：再次分部积分
Step 4：合并
因此：
13. Bell数与指数生成函数
题目
\(T_n\) 为 \(n\) 元集合的分划数（Bell数），求 \(T_n\) 的递推式及指数生成函数 \(\sum_{n=0}^\infty T_n\frac{x^n}{n!}\)。
解答
Step 1：递推公式
考虑元素 \(n\) 所在的分块大小为 \(k\)：
Step 2：指数生成函数
设 \(F(x) = \sum_{n=0}^\infty T_n\frac{x^n}{n!}\)。
由递推得微分方程：
Step 3：求解
故：
Step 4：Dobinski公式
14. 高斯函数的傅里叶变换
题目
设 \(f(x,y,z) = e^{-\pi(x^2+y^2+z^2)}\)，求 \(\hat{f}\)。
解答
利用可分离性，只需计算一维情形：
配方：
因此：
（利用高斯积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2}\, dx = 1\) 和解析延拓）。
三维情形由乘积结构直接得到：
15. Poisson核对数积分
题目
计算 $\(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \ln(1-2r\cos x + r^2)\, dx\)$
解答
关键观察：\(1-2r\cos x + r^2 = |1-re^{ix}|^2\)。
当 \(|r| < 1\) 时，利用 \(\ln(1-re^{ix}) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{r^n e^{inx}}{n}\)，取实部得：
积分后，\(\cos(nx)\) 在 \([0,2\pi]\) 上的积分为0（\(n \geq 1\)），故结果为0。
当 \(|r| > 1\) 时，令 \(r = 1/s\) 其中 \(|s| < 1\)，则
因此：
积分后第二项为0，得结果 \(2\ln|r|\)。
综上：
16. 极限与积分
题目1：几何平均积分
求 $\(\lim_{n\to\infty} \int_{[0,1]^n} f((x_1\cdots x_n)^{1/n})\, dx\)$
解答
由大数定律，
因此 \((x_1\cdots x_n)^{1/n} = e^{\frac{1}{n}\sum \ln x_i} \to e^{-1} = 1/e\)。
由控制收敛定理，极限为 \(f(1/e)\)。
题目2：算术平均积分
求 $\(\lim_{n\to\infty} \int_{[0,1]^n} f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) dx\)$
解答
由大数定律，\(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \to E[X] = \frac{1}{2}\)。
极限为 \(f(1/2)\)。
17. 变分问题
题目
求 \(\displaystyle\inf_{\varphi} \int_0^{\pi/2} (\varphi'(x))^2 \, dx\)，约束 \(\varphi(0)=0\)，\(\varphi(\pi/2)=\pi/2\)。
解答
Euler-Lagrange方程：\(\frac{d}{dx}(2\varphi') = 0\)，即 \(\varphi'' = 0\)。
解为线性函数 \(\varphi(x) = ax + b\)。
由边界条件：\(\varphi(0) = b = 0\)，\(\varphi(\pi/2) = a\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\)，得 \(a=1\)。
因此极值函数为 \(\varphi(x) = x\)，极值为：
18. 球平均函数与调和函数
题目
设 \(u\) 是调和函数（\(\Delta u = 0\)），定义球平均函数
证明 \(\phi(r) \equiv u(x)\)。
解答
对 \(\phi(r)\) 求导，利用方向导数与散度定理：
将曲面积分通过散度定理转化为体积分：
若 \(u\) 是调和函数（\(\Delta u = 0\)），则体积分结果为0，故 \(\phi'(r) = 0\)。
当 \(r \to 0\) 时，球面收缩到点 \(x\)，故 \(\lim_{r\to 0}\phi(r) = u(x)\)。
结合 \(\phi'(r) = 0\)，可知 \(\phi(r) \equiv u(x)\)。
19. 对数积分与三角函数
题目
计算 \(\int_0^{\pi} \ln \sin x\, dx\)。
解答
利用积分区间对称性：
由 \(\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)\)，得：
对 \(\int_0^{\pi/2} \ln \sin 2x\, dx\)，令 \(t = 2x\)：
又由 \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)：
因此 \(\frac{1}{2}I = \frac{\pi}{2}\ln 2 + \frac{I}{2}\)，解得：
20. 高斯型渐近估计
题目
求渐近行为：\(C_n \int_0^1 f(x)(1-(x-t)^2)^n dx\)，其中 \(C_n = \prod_{k=1}^n \frac{2k+1}{2k}\)。
解答
Step 1：计算 \(C_n\) 的渐近
Step 2：变量代换
令 \(x - t = \frac{u}{\sqrt{n}}\)，则 \(1-(x-t)^2 = 1-\frac{u^2}{n}\)。
利用 \((1-\frac{u^2}{n})^n \to e^{-u^2}\)，积分渐近为：
Step 3：合并
21. Van der Waerden 型函数
题目
设 \(S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(4^n x)}{4^n}\)，其中 \(\varphi(x)\) 表示 \(x\) 到最近整数的距离（即 \(\varphi(x) = \min_{k \in \mathbb{Z}} |x-k|\)）。
(1) 证明 \(S(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续。
(2) 证明 \(S(x)\) 在 \([0,1]\) 上处处不可微。
分析
这是经典的**无处可微连续函数**的构造，属于 Van der Waerden 型函数。
- 连续性：利用 Weierstrass M-判别法，级数一致收敛且每项连续。
- 不可微性：关键在于证明 \(|\varphi(4^n x) - \varphi(4^n y)| \geq 4^n|x-y| - \frac{1}{2}\)，这是局部 Lipschitz 条件的反面，导致差商无界。
解答
(1) 连续性证明
对任意 \(n \geq 1\)，\(\varphi(4^n x)\) 满足 \(0 \leq \varphi(4^n x) \leq \frac{1}{2}\)，故
由于 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 \cdot 4^n} = \frac{1}{6} < \infty\)，由 Weierstrass M-判别法，级数在 \([0,1]\) 上一致收敛。
又每项 \(\frac{\varphi(4^n x)}{4^n}\) 连续，故 \(S(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续。
(2) 处处不可微证明
引理：对任意 \(x, y \in [0,1]\)，有 \(|\varphi(4^n x) - \varphi(4^n y)| \geq 4^n|x-y| - \frac{1}{2}\)。
引理证明：设 \(4^n x = m + \alpha\)，\(4^n y = k + \beta\)，其中 \(m, k \in \mathbb{Z}\)，\(\alpha, \beta \in [0,1)\)。
由 \(\varphi\) 的定义，\(|\varphi(4^n x) - \varphi(4^n y)| = ||\alpha - \frac{1}{2}| - |\beta - \frac{1}{2}||\)（适当调整）。
当 \(x, y\) 充分接近时，利用 \(\varphi\) 的周期性及分段线性性质，可验证不等式成立。
主证明：假设 \(S\) 在某点 \(x_0\) 可微，则存在有限导数 \(S'(x_0)\)，即
但由引理，对任意 \(n\) 和适当的 \(y_n\)（取 \(y_n\) 使得 \(4^n(y_n - x_0) = \frac{1}{2}\)），有
计算得 \(|S(y_n) - S(x_0)| \geq n|y_n - x_0| - C\)，故差商无界，矛盾。
因此 \(S(x)\) 在 \([0,1]\) 上处处不可微。
22. 含参积分的渐近分析
题目
设 \(m\) 为正整数，分析当 \(x \to +\infty\) 时：
的渐近行为，并求极限。
分析
本题涉及**含参积分的渐近展开**，核心技巧： - 将积分拆分为周期区间之和 - 利用 \(\sin t\) 的振荡性质 - 结合 Wallis 公式与 Gamma 函数的渐近行为
解答
步骤1：积分拆分
将积分拆分为周期区间：
其中 \(N = \lfloor x/\pi \rfloor\)。
步骤2：周期积分估计
对每个周期 \([k\pi, (k+1)\pi]\)，\(t^m\) 近似为 \((k\pi)^m\)，且
故主项为交错级数：\(\sum_{k=0}^{N-1} (-1)^k \cdot 2 \cdot (k\pi)^m\)。
步骤3：渐近行为与 Gamma 函数
利用 Gamma 函数的渐近公式 \(\Gamma(z+a) \sim z^a \Gamma(z)\)（\(z \to +\infty\)），以及双阶乘与 Gamma 函数的关系：
结合 Wallis 公式，可得：
23. 一致连续的振幅刻画
题目
设 \(f(x)\) 在 \(D \subset \mathbb{R}^n\) 中有定义，令
证明：\(f\) 在 \(D\) 上一致连续的充要条件是 \(\lim_{\delta \to 0^+} \omega_f(\delta) = 0\)。
分析
这是**一致连续性的等价刻画**，核心在于振幅函数 \(\omega_f(\delta)\) 描述了函数在尺度 \(\delta\) 下的最大振荡。
解答
必要性（\(f\) 一致连续 \(\Rightarrow \lim_{\delta \to 0} \omega_f(\delta) = 0\)）：
设 \(f\) 一致连续，则对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta_0 > 0\)，当 \(\|x-y\| < \delta_0\) 时，\(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\)。
因此对所有 \(\delta < \delta_0\)，有 \(\omega_f(\delta) \leq \varepsilon\)，故 \(\lim_{\delta \to 0} \omega_f(\delta) = 0\)。
充分性（\(\lim_{\delta \to 0} \omega_f(\delta) = 0\) \(\Rightarrow\) \(f\) 一致连续）：
反证法。假设 \(f\) 不一致连续，则存在 \(\varepsilon_0 > 0\)，对任意 \(\delta > 0\)，存在 \(x_\delta, y_\delta\) 满足 \(\|x_\delta - y_\delta\| < \delta\) 但 \(|f(x_\delta) - f(y_\delta)| \geq \varepsilon_0\)。
这意味着对所有 \(\delta > 0\)，\(\omega_f(\delta) \geq \varepsilon_0\)，与 \(\lim_{\delta \to 0} \omega_f(\delta) = 0\) 矛盾。
故 \(f\) 必一致连续。
24. 左导数零点存在性
题目
设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上连续，且在 \((0,1)\) 内有连续的左导数 \(f'_-(x)\)，满足 \(f(0) = f(1)\)。证明：存在 \(\xi \in (0,1)\)，使得 \(f'_-(\xi) = 0\)。
分析
这是**左导数版本的 Rolle 定理**。关键：左导数的连续性与函数端点值相等。
解答
反证法：假设 \(f'_-(x) > 0\) 对所有 \(x \in (0,1)\) 成立（由连续性，可设 \(f'_-(x) \geq c > 0\)）。
由左导数正，\(f\) 在 \([0,1]\) 上严格单调递增。
取 \(\delta\) 充分小，由连续性： - 当 \(x \in [0, \delta]\) 时，\(|f(x) - f(0)| < \frac{c}{2}\) - 当 \(y \in [1-\delta, 1]\) 时，\(|f(y) - f(1)| < \frac{c}{2}\)
但 \(f(y) - f(x) \geq c(y-x) = c(1-2\delta)\)，与 \(f(0) = f(1)\) 矛盾。
故必存在 \(\xi \in (0,1)\) 使 \(f'_-(\xi) = 0\)。
25. 积分极限计算
题目
设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上 Riemann 可积，在 \(x=1\) 处可导，满足 \(f(1) = 0\)，\(f'(1) = -1\)。证明：
分析
本题关键是利用 \(f\) 在 \(x=1\) 附近的局部线性近似：\(f(x) \approx f(1) + f'(1)(x-1) = -(x-1) = 1-x\)。
积分的主要贡献来自 \(x=1\) 附近。
解答
步骤1：变量替换
令 \(t = x^{1/n}\)（即 \(x = t^n\)），则 \(dx = n t^{n-1} dt\)，积分变为：
步骤2：分部积分
对 \(\int_0^1 t^n f(t) \, dt\) 用分部积分：
由 \(f(1) = 0\)，得：
步骤3：渐近计算
当 \(n \to \infty\) 时，积分主要贡献来自 \(t=1\) 附近。由 \(f'(1) = -1\)：
代入得：
步骤4：极限结果
26. 含参积分的一致收敛性
题目
(1) 证明含参积分 \(\int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-\lambda x}}{x} \cos x \, dx\) 在 \(\lambda \in [0,1]\) 上一致收敛。
(2) 求 \(\int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-x}}{x} \cos x \, dx\) 的值。
分析
(1) 使用 Dirichlet 判别法： - \(\int_0^A \cos x \, dx\) 一致有界 - \(\frac{1-e^{-\lambda x}}{x}\) 关于 \(x\) 单调递减且一致趋于 0
(2) 利用含参积分的计算技巧，结合分部积分或 Laplace 变换。
解答
(1) 一致收敛证明
设 \(g(x, \lambda) = \cos x\)，\(h(x, \lambda) = \frac{1-e^{-\lambda x}}{x}\)。
-
条件1：\(\left|\int_0^A \cos x \, dx\right| = |\sin A| \leq 2\)，一致有界。
-
条件2：对固定 \(\lambda \in (0,1]\)，\(h(x, \lambda)\) 关于 \(x\) 单调递减（求导验证），且
收敛对 \(\lambda \in [0,1]\) 一致。
由 Dirichlet 判别法，积分一致收敛。
(2) 积分值计算
定义 \(g(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \cos t \, dt\)。
通过两次分部积分：
验证：\(g(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\) 的导数也是 \(\frac{x}{x^2+1}\)，且 \(g(0) = 0\)。
因此：
27. 积分不等式
题目
设 \(0 < f(x) < 1\)，且 \(\int_0^{+\infty} f(x) \, dx\) 与 \(\int_0^{+\infty} x f(x) \, dx\) 均收敛。证明：
分析
本题需要巧妙的积分拆分与估计。关键：将积分拆分为 \([0,1]\) 和 \([1,+\infty)\) 两部分，分别利用 \(f(x) < 1\) 和 \(x \geq 1\) 时的放缩。
解答
步骤1：积分拆分
令 \(I = \int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx + \int_1^{+\infty} f(x) \, dx = I_1 + I_2\)。
步骤2：分别估计
- 对 \(I_2\)：当 \(x \geq 1\) 时，\(\frac{1}{x} \leq 1\)，故
- 对 \(I_1\)：令 \(t = \sqrt{x}\)（即 \(x = t^2\)），则
（因 \(0 < f(t^2) < 1\)）
步骤3：综合估计
设 \(C = \int_1^{+\infty} x f(x) \, dx\)，则需证 \((I_1 + I_2)^2 \leq 2(I_1' + C)\)，其中 \(I_1' = \int_0^1 x f(x) \, dx\)。
利用 \(I_1' \geq \frac{I_1^2}{2}\)（由 Cauchy-Schwarz 或单调性），以及交叉项估计，最终可得：
等号不成立（因 \(f(x) < 1\) 严格），故严格不等式成立。
二、高等代数
28. 矩阵交换子恒等式
题目
设 \(x^{(n)} = [y, x^{(n-1)}]\)，\(x^{(0)} = x\)，其中 \([A,B] = AB-BA\) 为交换子。证明
分析
这是李代数中的经典恒等式，与PBW（Poincaré-Birkhoff-Witt）定理相关。证明使用数学归纳法。
解答
基例 \(k=0\)：两边均为 \(x\)。
归纳假设：对 \(n-1\) 成立。
归纳步骤：
利用 \(x^{(j)} y = y x^{(j)} - x^{(j+1)}\) 和Pascal恒等式 \(\binom{n+1}{j+1} = \binom{n}{j} + \binom{n}{j+1}\)，整理得RHS。
29. 矩阵方程与若尔当标准型
题目
是否存在二阶矩阵 \(A\) 使 \(\sin A = I + 2019J\)，其中 \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)？
解答
**不存在**这样的矩阵 \(A\)。
证明：
若 \(A\) 可对角化，则 \(\sin A\) 也可对角化，但 \(I+2019J\) 不可对角化（有非平凡若尔当块）。
故 \(A\) 不可对角化，设 \(A \sim \lambda I + J\)。不妨设 \(A = aI + bJ\)。
计算：
（利用 \(J^2 = 0\)，Taylor展开截断）。
需要：
但 \(\sin a = 1 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow \cos a = 0\)，矛盾。
30. 中心化子结构
题目
设 \(C(A) = \{B : AB = BA\}\) 为矩阵 \(A\) 的中心化子。证明：\(C(A) = \{f(A) : f \in \mathbb{C}[x]\}\) 当且仅当 \(A\) 的每个特征值只有一个若尔当块（即最小多项式等于特征多项式）。
解答
必要性：若 \(A\) 有特征值 \(\lambda\) 对应多个若尔当块，则存在非多项式形式的矩阵与 \(A\) 可交换（块间非对角元可非零），中心化子更大。
充分性：设 \(A\) 相似于若尔当标准型 \(J = \bigoplus_{i} J_{k_i}(\lambda_i)\)，其中各 \(\lambda_i\) 互不相同。
对单块 \(J_k(\lambda)\)，中心化子恰为 \(\{f(J_k(\lambda)) : f \in \mathbb{C}[x]\}\)（上三角Toeplitz矩阵）。
多块情形由直和结构，中心化子为各块中心化子的直和，恰等于多项式代数。
31. 正定矩阵的交换性
题目
设 \(A\) 正定，\(A^2B = BA^2\)，证明 \(AB = BA\)。
解答
步骤1：\(A\) 正定的谱分解
步骤2：条件转化
令 \(\tilde{B} = QBQ^T\)，则 \(\Gamma^2 \tilde{B} = \tilde{B} \Gamma^2\)。
步骤3：由 \(\lambda_i^2 = \lambda_j^2 \Leftrightarrow \lambda_i = \lambda_j\)（因 \(\lambda_i > 0\)），得 \(\Gamma \tilde{B} = \tilde{B} \Gamma\)。
步骤4：回代得 \(AB = BA\)。
32. Sylvester方程
题目
矩阵方程 \(AX - XB = 0\)（即 \(AX = XB\)）只有零解的条件是什么？
解答
当且仅当 \(A\) 和 \(B\) 无公共特征值。
证明：
若 \(X \neq 0\)，则存在 \(v \neq 0\) 使 \(Xv \neq 0\)。设 \(Bv = \lambda v\)，则
因此 \(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值（特征向量 \(Xv\)），即 \(\lambda\) 是公共特征值。
反之，若 \(\lambda\) 是公共特征值，\(Au = \lambda u\)，\(Bv = \lambda v\)，则 \(X = uv^T\) 是非零解。
33. 友矩阵的可对角化
题目
友矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{pmatrix}\) 可对角化的条件是什么？
解答
友矩阵的特征多项式为 \(p(\lambda) = \lambda^3 - c\lambda^2 - b\lambda - a\)。
友矩阵的最小多项式等于特征多项式。
可对角化 \(\Leftrightarrow\) 最小多项式无重根 \(\Leftrightarrow\) 特征多项式无重根 \(\Leftrightarrow\) 判别式 \(\Delta \neq 0\)。
三次多项式 \(\lambda^3 + p\lambda + q\) 的判别式为 \(\Delta = -4p^3 - 27q^2\)。
34. 线性变换与域结构
题目
设 \(\sigma\) 是数域 \(K\) 上有限维线性空间 \(V\) 上的线性变换，\(\sigma\) 的极小多项式 \(\mu_\sigma(x)\) 在 \(K[x]\) 中不可约。证明 \(K[\sigma]\) 是一个域。
分析
这是代数中从多项式环构造域的典型例子。核心思想是利用商环构造：\(K[\sigma] \cong K[x]/(\mu_\sigma(x))\)。
解答
步骤1：建立代数同构
考虑映射
\(\varphi\) 是满射环同态，且
由环同态基本定理：
步骤2：证明 \(K[x]/(\mu_\sigma(x))\) 是域
引理：设 \(K\) 是域，\(p(x) \in K[x]\) 不可约，则 \((p(x))\) 是 \(K[x]\) 的极大理想。
证明：若 \((p(x)) \subsetneq I \subseteq K[x]\)，因 \(K[x]\) 是PID，存在 \(q(x)\) 使 \(I = (q(x))\)。由 \(p(x) \in (q(x))\)，得 \(q(x) \mid p(x)\)。因 \(p(x)\) 不可约，\(q(x)\) 为常数或 \(p(x)\) 的相伴元。前者推出 \(I = K[x]\)，后者与真包含矛盾。
因此 \((\mu_\sigma(x))\) 是极大理想，\(K[x]/(\mu_\sigma(x))\) 是域。
步骤3：逆元的构造
对非零元 \(p(\sigma) \in K[\sigma]\)，因 \(\mu_\sigma(x)\) 不可约，\(\gcd(p(x), \mu_\sigma(x)) = 1\)。由扩展欧几里得算法，存在 \(u(x), v(x)\) 使
模 \(\mu_\sigma(x)\) 得 \(u(x)p(x) \equiv 1\)，于是 \(p(\sigma)^{-1} = u(\sigma) \in K[\sigma]\)。
35. 矩阵方程的推导
题目
\(A^2B = A\) 能否推出 \(B^2A = B\)？
解答
不能。
反例：
验证：
但：
36. 张量积同构
题目
\(\mathcal{L}\,(V^*, W) \cong \mathcal{B}\,(V, W; \mathbb{C})\)？
解答
原表述需修正。正确的同构为：
构造：\(T \mapsto B_T\)，其中 \(B_T(v, w) = T(v)(w)\)。
这是线性同构，验证： - 线性：\(B_{\alpha T_1 + \beta T_2} = \alpha B_{T_1} + \beta B_{T_2}\) - 单射：\(B_T = 0 \Rightarrow T(v)(w) = 0\) 对所有 \(v,w\) 成立 \(\Rightarrow T = 0\) - 满射：给定 \(B \in \mathcal{B}\,(V,W;\mathbb{C})\)，定义 \(T(v) = B(v, \cdot) \in W^*\)
原问题可能需要 \(W \cong W^*\)（如有内积）才能成立。
37. 级数子序列和
题目
设 \(0 < a_n < \sum_{k=n+1}^\infty a_k\)，\(\sum a_n = 1\)。求子序列和的取值范围。
解答
答案：\([0, 1]\)（所有实数）。
证明：贪心算法。条件 \(a_n < R_n\)（剩余部分）保证对任意 \(x \in [0,1]\)，可以构造子序列使其和为 \(x\)。
具体地，从大到小选取：若当前和 \(s < x\)，选取足够大的 \(a_n\) 使 \(s + a_n \leq x\)；若 \(s + a_n > x\)，跳过。由于剩余部分总是大于当前项，总能精确达到 \(x\)。
38. 对称矩阵的特征性质
题目
设 \(A\) 是 \(n\) 阶对称正定矩阵，则： 1. 所有特征值为正； 2. 不同特征值对应的特征向量正交； 3. \(A\) 可正交对角化：\(A = Q^T \Lambda Q\)。
解答
1. 特征值的正定性
设 \(Ax = \lambda x\)，\(x \neq 0\)。则
由 \(A\) 正定，\(x^T A x > 0\)，故 \(\lambda > 0\)。
2. 特征向量的正交性
设 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)，\(Au_1 = \lambda_1 u_1\)，\(Au_2 = \lambda_2 u_2\)。
则
相减得 \((\lambda_1 - \lambda_2)u_1^T u_2 = 0\)，故 \(u_1^T u_2 = 0\)。
3. 谱分解
由对称矩阵谱定理，存在正交矩阵 \(Q\) 使 \(A = Q^T \Lambda Q\)。
附：二次型的几何意义
考虑二次型 \((x,y)\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)，通过**对称矩阵对角化**化简为：
几何意义： - 若 \(\lambda_1, \lambda_2\) 符号相反，为双曲线或相交直线 - 若 \(\lambda_1, \lambda_2\) 同号，为椭圆（或虚椭圆） - 面积因子与判别式 \(AC - B^2\) 相关
39. 压缩映射与不动点
题目（Banach不动点定理）
设 \((X, \rho)\) 是完备度量空间，\(T: X \to X\) 是压缩映射（即存在 \(\alpha \in [0,1)\) 使 \(\rho(Tx, Ty) \leq \alpha \rho(x,y)\)）。证明 \(T\) 存在唯一不动点。
解答
唯一性：若 \(x, y\) 都是不动点，则
因 \(\alpha < 1\)，得 \(\rho(x,y) = 0\)，即 \(x = y\)。
存在性：任取 \(x_0 \in X\)，定义迭代序列 \(x_{n+1} = Tx_n\)。
Claim：\(\{x_n\}\) 是Cauchy列。
证明：对 \(m > n\)，
由完备性，\(x_n \to x^*\)。由 \(T\) 的连续性（Lipschitz蕴含连续），
40. 级数收敛性判别
题目（Emorkavo判别法相关）
若 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛且 \(\{na_n\}\) 单调，则 \(\lim_{n\to\infty} na_n \ln n = 0\)。
解答
由级数收敛，\(a_n \to 0\)，故 \(na_n \to 0\)（若 \(na_n\) 不趋于0，则 \(a_n \sim \frac{c}{n}\) 导致级数发散）。
因 \(\{na_n\}\) 单调且趋于0，它是单调递减趋于0的数列。
考虑积分 \(\int_2^\infty \frac{c(x)}{x}\, dx\)（将离散的 \(c_n = na_n\) 延拓）。由于 \(\sum \frac{c_n}{n}\) 收敛，积分也收敛。
做变量替换 \(t = \ln x\)，则 \(dx = e^t dt\)，积分变为 \(\int_{\ln 2}^\infty c(e^t)\, dt\)。
因积分收敛且 \(c(e^t)\) 单调递减趋于0，必有 \(c(e^t) = o(1/t)\)，即 \(c_n \ln n \to 0\)。
41. 整系数多项式的整数根
题目
设 \(f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i\) 是整系数多项式（\(a_i \in \mathbb{Z}\)）。若 \(f(0)\) 和 \(f(1)\) 都是奇数，证明 \(f(x)\) 没有整数根。
解答
关键观察：设 \(m \in \mathbb{Z}\)，计算 \(f(m) \bmod 2\)（模2意义下）。
由条件： 1. \(f(0) = a_0\) 是奇数 ⇒ \(a_0 \equiv 1 \pmod{2}\) 2. \(f(1) = \sum_{i=0}^n a_i\) 是奇数 ⇒ \(\sum_{i=0}^n a_i \equiv 1 \pmod{2}\)
模2计算：
对任意整数 \(m\)，考虑两种情形：
情形一：\(m\) 是偶数，即 \(m \equiv 0 \pmod{2}\)。 则 \(m^i \equiv 0 \pmod{2}\)（\(i \ge 1\)），故
所以 \(f(m)\) 是奇数。
情形二：\(m\) 是奇数，即 \(m \equiv 1 \pmod{2}\)。 则 \(m^i \equiv 1 \pmod{2}\)（对所有 \(i\)），故
所以 \(f(m)\) 也是奇数。
结论：对任意整数 \(m\)，\(f(m)\) 都是奇数，而奇数不可能等于零，因此 \(f(x)\) 没有整数根。
42. 概率级数恒等式
题目
设 \(\{p_j\}_{j=1}^\infty\) 为一列概率（\(0 \leq p_j \leq 1\)），证明：
并讨论 \(n \to \infty\) 时的极限行为。
分析
这个恒等式有直观的概率意义： - 第一项："恰好有一个事件发生"的概率（第\(i\)个事件发生，其余不发生） - 第二项："所有事件都不发生"的概率 - 两者之和为"至多一个事件发生"的概率
解答
Step 1：有限项恒等式
对任意正整数 \(n\)，设 \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) 为独立事件，\(P(A_j) = p_j\)。
定义： - \(B_i\) = "第 \(i\) 个事件发生，其余不发生" - \(C\) = "所有事件都不发生"
则： $\(P(B_i) = p_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^n (1-p_j)\)$
事件 \(B_1, B_2, \ldots, B_n, C\) 两两互斥，且它们的并集为"至多一个事件发生"。
由于概率的完全性：
即：
Step 2：极限行为分析
当 \(n \to \infty\) 时，记：
由有限项时恒成立 \(S_n = 1\)，极限：
进一步分析：
若 \(\sum_{j=1}^\infty p_j < \infty\)，则 \(\prod_{j=1}^\infty (1-p_j) > 0\)，此时：
若 \(\sum_{j=1}^\infty p_j = \infty\)，则 \(\prod_{j=1}^\infty (1-p_j) = 0\)，此时：
43. 矩阵方程解空间维数
题目
设矩阵 \(A, B\) 的极小多项式分别为 \(p(x), q(x)\)，且 \(\gcd(p, q) = d(x)\)（\(d(x) \neq 1\)）。试估计矩阵方程 \(AX + XB = 0\) 的解空间维数的最大值，并证明。
分析
这是 Sylvester 方程 \(AX + XB = 0\) 的解空间维数问题。当 \(A\) 和 \(-B\) 有公共特征值时，解空间维数大于 0。
解答
暂留：需要补充完整证明。
关键思路：利用 Kronecker 积将方程转化为 \((I \otimes A + B^T \otimes I) \text{vec}(X) = 0\)，分析系数矩阵的零空间维数。
44. 伴随矩阵的秩一表示
题目
设矩阵 \(A\) 满足：\((1, 2, \ldots, n) A = 0\)，\(A (1, 2, \ldots, n)^T = 0\)。证明：\(A^*\)（\(A\) 的伴随矩阵）可表示为 \(a a^T\)（其中 \(a \in \mathbb{R}^n\)）。
分析
条件表明向量 \(\mathbf{1} = (1, 2, \ldots, n)^T\) 同时在 \(A\) 的左零空间和右零空间中，即 \(\text{rank}(A) \leq n-1\)。
解答
暂留：需要补充完整证明。
关键思路：当 \(\text{rank}(A) = n-1\) 时，\(A^*\) 是秩一矩阵，可表示为外积形式。
45. 不变子空间的正交补
题目
设 \(T, S\) 是有限维欧氏空间 \(V\) 上可交换的线性变换（\(TS = ST\)），\(U\) 是 \(T\) 的不变子空间，\(W\) 是 \(U\) 在 \(V\) 中的正交补。若对任意 \(u, v \in V\)，成立 \((Tu, v) = (u, Sv)\)，证明：\(W\) 也是 \(S\) 的不变子空间。
分析
条件 \((Tu, v) = (u, Sv)\) 表明 \(S\) 是 \(T\) 的**伴随变换**（在欧氏空间中是转置/共轭转置）。
解答
设 \(w \in W\)，需证 \(Sw \in W\)，即对任意 \(u \in U\)，\((Sw, u) = 0\)。
由伴随条件：\((Sw, u) = (w, Tu)\)（注意 \(S\) 与 \(T\) 的关系）。
因 \(U\) 是 \(T\) 的不变子空间，\(Tu \in U\)，而 \(w \in W = U^\perp\)，故 \((w, Tu) = 0\)。
因此 \((Sw, u) = 0\) 对所有 \(u \in U\) 成立，即 \(Sw \in W\)。
故 \(W\) 是 \(S\) 的不变子空间。
46. \(\lambda\)-矩阵的等价标准形
题目
求 \(\lambda\)-矩阵
的等价标准形（其中 \(a, b\) 为给定的复数，\(f(\lambda)\) 是给定的多项式）。
分析
利用初等变换化简 \(\lambda\)-矩阵，目标是得到对角形 \(\text{diag}(d_1(\lambda), d_2(\lambda))\)，其中 \(d_1 | d_2\)。
解答
通过 \(\lambda\)-矩阵的初等变换：
- 若 \(b \neq 0\)，可通过行/列变换消去非对角元。
- 利用 \((\lambda-a)^n\) 和 \(f(\lambda)\) 的关系确定不变因子。
结果：
（在适当条件下，具体取决于 \(f(\lambda)\) 的形式）
47. 根的对称多项式
题目
设 \(a, b, c, d\) 为多项式 \(x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x - 1\) 的 4 个根，求以 \(a^2, b^2, c^2, d^2\) 为根的首一四次多项式。
分析
利用**Vieta 公式**和**对称多项式基本定理**，将 \(a^2, b^2, c^2, d^2\) 的初等对称多项式用 \(a, b, c, d\) 的初等对称多项式表示。
解答
设 \(e_1 = a+b+c+d\)，\(e_2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd\)，\(e_3 = abc+abd+acd+bcd\)，\(e_4 = abcd\)。
由 Vieta 公式： - \(e_1 = -2\) - \(e_2 = -3\) - \(e_3 = -1\) - \(e_4 = -1\)
计算新多项式的系数：
-
\(\sum a^2 = e_1^2 - 2e_2 = 4 + 6 = 10\)
-
\(\sum a^2 b^2 = e_2^2 - 2e_1 e_3 + 2e_4 = 9 - 4 + (-2) = 3\)
-
\(\sum a^2 b^2 c^2 = e_3^2 - 2e_2 e_4 = 1 - 6 = -5\)
-
\(a^2 b^2 c^2 d^2 = e_4^2 = 1\)
故所求多项式为：
以上习题整理于 2026-03-09
48. 矩阵秩与方程等价性
若矩阵 A, B 满足秩相等（r(A) = r(B)），则矩阵方程满足等价关系： $\(A^2 B = A \iff B^2 A = B\)$
证明思路：体现矩阵运算中"互逆"或"对偶"的代数关系，需结合矩阵秩的性质与乘积的秩不等式证明。
49. 分块矩阵的行列式公式
对分块矩阵 \(\begin{pmatrix} A & \alpha \\ B^T & a \end{pmatrix}\)（其中 A 为 n×n 矩阵，α 为 n 维列向量，a 为标量，B 为 n 维列向量），其行列式满足： $\(\det\begin{pmatrix} A & \alpha \\ B^T & a \end{pmatrix} = a \cdot |A| - \alpha^T A^* B\)$
其中 A* 是 A 的伴随矩阵，公式可通过行列式展开或分块矩阵初等变换推导。
补充习题整理于 2026-03-26
50. 含参积分的极限问题
原始题目
考虑含参积分 \(I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{xf(t)}{1 + x^2t^2} \, dt\)（x > 0），求 \(\lim_{x \to +\infty} I(x)\)（假设 f(t) 连续有界，且在 t = 0 处连续）。
题目分析
核心步骤： 1. 令 y = xt 进行变量代换，将积分转化为更适合分析的形式 2. 利用 Weierstrass 判别法证明一致收敛性 3. 由一致收敛性与 f 的连续性，交换极限与积分
求解
1. 变量代换
令 y = xt（即 t = y/x，dt = dy/x），积分转化为：
2. 一致收敛性分析
若 f(t) 是**连续且有界**的函数（即 |f(t)| ≤ M, ∀t），则被积函数 \(\frac{f(xy)}{1 + y^2}\) 满足：
而 \(\int_0^{+\infty} \frac{M}{1 + y^2} \, dy = M \cdot \frac{\pi}{2}\) 收敛，由 Weierstrass 判别法，积分 I(x) 关于 x ∈ (0, +∞)一致收敛。
3. 极限与积分的交换
若 f(t) 在 t = 0 处**连续**，则当 x → +∞ 时，y/x → 0，故 f(y/x) → f(0)（依连续性）。结合一致收敛性，可交换**极限与积分**：
添加时间: 2026-04-07
附录
A. 常用不等式汇总
| 不等式名称 | 表达式 | 适用条件 |
|---|---|---|
| Cauchy-Schwarz | \(\int fg \leq \sqrt{\int f^2} \sqrt{\int g^2}\) | \(f,g \in L^2\) |
| Hardy | $\int \frac{u^2}{ | x |
| Wirtinger | $\int f^2 \leq \int | f' |
| Jensen | \(f(\frac{1}{b-a}\int_a^b g) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(g)\) | \(f\) 凸 |
| Gronwall | \(u(t) \leq a + \int_0^t b(s)u(s)ds\) | 微分不等式 |
B. 常用公式汇总
斯特林公式
Wallis积分
高斯积分
Poisson核
C. 复习计划模板
周计划
- [ ] 完成 5 道新题目
- [ ] 复习 3 道已标记 [x] 的题目
- [ ] 整理 1 个新的解题模式到 patterns/
月计划
- [ ] 完成所有 [ ] 标记的基础题目
- [ ] 重点突破 [~] 标记的难点
- [ ] 总结本月学到的 3 个核心技巧
共50题已整理（35核心题 + 15补充题）
第二部分：中科院历年真题库
收录 2017–2024 年中国科学院大学数学保研笔试真题。 与本部分第一部分中已有解答的题目存在少量重复，可相互参照。
中国科学院大学数学保研笔试真题集
数学与系统科学研究院 2024 年夏令营招生考试试题
考生须知： 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟
1. (20 分)
(1) 设数列 \(a_n > 0\) 并且 \(\lim_{n \to \infty} a_n = a\)，计算极限： $\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\)$
(2) 设 \(a > 2\)，计算极限： $\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x e^{-t^2} dt - \sin x}{\sin^2 x - x^2}\)$
(3) 计算极限： $\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \iint_D (x + y) dxdy\)$ 其中 \(D = \{(x,y) \mid (x-1)^2 + (y-1)^2 \leq 2, y \geq x\}\)
(4) 设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可导，\(f(0) = 0\)，\(f'(0) = 1\)，求： $\(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)\)$
2. (20 分)
(1) 设 \(n\) 为正整数，计算积分： $\(\int_0^{\pi} \frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin \theta} d\theta\)$
(2) 计算二重积分 \(\iint_D f(x,y) dxdy\)（题目不完整）
3. (15 分)
设 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上连续可导，且 \(f(0) = f(1) = 0\)，\(\exists \xi \in (0,1)\) 使得 \(f(\xi) \neq 0\)。
证明： $\(\int_0^1 |f'(x)| dx \geq 4\)$
4. (10 分)
设 \(A, B, C \in M_n(\mathbb{R})\) 为实数域上 \(n\) 阶方阵，\([AB, C] = C\)，\(|C| \neq 0\) 且 \([A,C] = 0\)，\([B,C] = 0\)。讨论 \([A,B]\) 与 \((BA)^k\) 的关系，其中 \([X,Y] := XY - YX\)。
5. (20 分)
设 \(D \subset \mathbb{R}^3\) 是一个区域，\(u(x)\) 是 \(D\) 上的函数，\(u(x)\) 二阶连续可导，且满足调和条件 \(\Delta u = 0\)。对任意的 \(x \in D\)，定义： $\(g(r) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial B(x,r)} u(y) d\sigma(y)\)$
其中，\(B(x,r)\) 表示以 \(x\) 为球心、\(r\) 为半径的球，\(\partial B(x,r)\) 表示这个球的外表面。这里 \(r\) 充分小使得 \(B(x,r) \subset D\)。
(1) 证明：\(g'(r) = 0\)
(2) 证明：\(u(x) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial B(x,r)} u(y) d\sigma(y) = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi r^3} \iiint_{B(x,r)} u(y) dy\)
6. (20 分)
证明如下两个结论：
(1) 设 \(f\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 上的一个正交变换，证明：\(f\) 的不变子空间的正交补也是 \(f\) 的不变子空间。
(2) 设 \(A = (a_{ij}) \in M_n(\mathbb{C})\)，若 \(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}\)，则有 \(\det(e^A) = e^{\text{tr}(A)}\)。
数学与系统科学研究院 2023 年提前批招生考试试题
考生须知： 本试卷满分 150 分，考试时间 180 分钟
1. (20 分)
(1) 设 $\(f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}\)$
问等式 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) 是否成立？
(2) 设 $\(f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}\)$
计算 \(\int_0^1 dy \int_0^1 f(x,y) dx\) 和 \(\int_0^1 dx \int_0^1 f(x,y) dy\)，并说明从该计算结果得出什么结论？
2. (20 分)
计算 \(n+1\) 阶行列式 \(D_{n+1}\)： $\(D_{n+1} = \begin{vmatrix} s_0 & s_1 & s_2 & \cdots & s_{n-1} & 1 \\ s_1 & s_2 & s_3 & \cdots & s_n & x \\ s_2 & s_3 & s_4 & \cdots & s_{n+1} & x^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ s_n & s_{n+1} & s_{n+2} & \cdots & s_{2n-1} & x^n \end{vmatrix}\)$
其中 \(s_k = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\)。
3. (20 分)
设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上二阶可导，且 \(f''(x) > 0\)。证明：
(1) $\(f\left(\frac{a+b}{2}\right) < \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx\)$
(2) 若 \(f(x) < 0\)，\(x \in [a,b]\)，则 \(f(x) > \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) dx\)，\(x \in [a,b]\)。
4. (20 分)
设 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 为欧氏空间 \(V\) 的一组标准正交基，\(\sigma\) 是 \(V\) 的一个线性变换，并且： $\(\sigma(\alpha_1) = \alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3\)$ $\(\sigma(\alpha_2) = -\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3\)$ $\(\sigma(\alpha_3) = -\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3\)$
(1) 证明：\(\sigma\) 是一个对称变换；
(2) 求 \(V\) 的另一组标准正交基，使得 \(\sigma\) 在这一组基下的矩阵为对角矩阵。
5. (20 分)
设函数列 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)，\(g(x)\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 内连续。证明： \(\{g(f_n(x))\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(g(f(x))\)。
6. (20 分)
(1) 设实函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可微，并且满足条件：\(f(0) = 0\)，\(|f'(x)| \leq K|f(x)|\)，其中 \(K\) 为常数。证明：\(f(x) = 0\)。
(2) 设整系数多项式 \(f(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n\)。若 \(f(0)\) 和 \(f(1)\) 都是奇数，证明：\(f(x)\) 没有整数根。
7. (15 分)
计算积分： $\(\iiint_{Q(x)<1} e^{Q(x)} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4\)$
其中 \(Q(x) = \sum_{i,j=1}^4 a_{ij} x_i x_j\) 是正定二次型。
8. (15 分)
设 \(\sigma\) 是域 \(K\) 上有限维线性空间 \(V\) 上的一个线性变换（又称线性算子）。证明：如果 \(\sigma\) 的极小多项式（又称最小多项式）\(m_\sigma(\lambda) \in K[\lambda]\) 是不可约的（又称既约的），则 \(K[\sigma]\) 是一个域。
数学与系统科学研究院 2023 年夏令营招生考试试题
考生须知： 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟
1. (10 分)
(1) 已知 \(f'(a)\) 存在，\(f(a) \neq 0\)，求： $\(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{f(a + \frac{1}{n})}{f(a)}\right)^n\)$
(2) 求不定积分 \(\int \ln(x + \sqrt{1+x^2}) dx\)
2. (15 分)
设 \(f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的连续函数且严格单调增加，求证： $\(\int_a^b x f(x) dx > \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) dx\)$
3. (15 分)
设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上二阶连续可导，并且 \(f(a) = f(b) = 0\)，证明不等式： $\(M^2 \leq \frac{(b-a)^3}{12} \int_a^b |f''(x)|^2 dx\)$
其中 \(M = \sup_{a \leq x \leq b} |f(x)|\)。
4. (10 分)
设 \(A, B\) 为 \(n\) 阶实方阵，且 \(AB\) 和 \(BA\) 均为实对称矩阵，求证：\(AB\) 和 \(BA\) 相似。
5. (10 分)
设 \(x, y\) 为 \(n\) 阶方阵，定义 \(z^1 = z\)，\(z^0 = [x,y] = xy - yx\)，\(z^{k+1} = [z^k, y]\)。
证明： $\(z^k = \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{k}{i} y^{k-i} x y^i\)$
6. (20 分)
设 \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)，\(\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\)。
(1) (10 分) 证明如下两个等式成立： $\(\Delta r = \frac{2}{r}, \quad \Delta \ln r = \frac{1}{r^2}\)$
注：这里的 \(\cdot\) 表示两个向量做内积。
(2) (10 分) 假设 \(u\) 是一个在无穷远处为零的一次连续可微函数，且使得积分 \(\int_{\mathbb{R}^3} \frac{u^2}{r^2} dxdydz\) 和 \(\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 dxdydz\) 存在。证明如下不等式成立： $\(\int_{\mathbb{R}^3} \frac{u^2}{r^2} dxdydz \leq 4 \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 dxdydz\)$
注：\(|\nabla u|^2 = \nabla u \cdot \nabla u\)
7. (20 分)
证明 \(\cos x\) 是超越函数。
（注：函数 \(f(x)\) 为超越函数，若不存在有限个非零的数 \(a_{ij}\)（\(i = 0,1,2,\ldots,m\)；\(j = 0,1,2,\ldots,n\)），使得 \(\forall x \in \mathbb{R}\)，\(\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n a_{ij} x^i f^j(x) = 0\)）
数学与系统科学研究院 2019 年提前批招生考试试题 1
注： 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟
1. (20 分)
证明或反证：若存在实数域上的 \(n\) 阶方阵 \(A\) 满足 \(A^2 + 2A + 4I = 0\) 的充要条件是 \(n\) 为偶数。
2. (20 分)
设 \(f\) 为定义在 \([0,1]\) 上的实值连续函数，求证： $\(\int_0^1 \int_0^1 |f(x) + f(y)| dxdy \geq \int_0^1 |f(x)| dx\)$
3. (10 分)
设 \(A, B\) 为 \(2 \times 2\) 实矩阵，\(t \in \mathbb{R}\)。若 \(A + tB\) 可逆，且 \((A + tB)^{-1}\) 与 \(A + 5B\) 可交换，求 \(A\) 与 \(B\) 的关系。
4. (20 分)
设 \(f(x,y,z) = e^{-\alpha(x^2 + y^2 + z^2)}\)，求 \(f\) 的 Fourier 变换，其定义为： $\(\hat{f}(\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \int_{\mathbb{R}^3} f(x,y,z) e^{-2\pi i(x\xi_1 + y\xi_2 + z\xi_3)} dxdydz\)$
5. (20 分)
对任何方阵 \(A\) 可定义 \(\sin A\) 如下： $\(\sin A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}\)$
证明或反证：存在一个 \(2\) 阶方阵 \(A\) 使得 $\(\sin A = \begin{pmatrix} 1 & 2019 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)$
6. (10 分)
设 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = 3a_n + [\sqrt{5} a_n]\)，其中 \([a]\) 表示不大于 \(a\) 的最大整数。求 \(a_n\) 的通项表达式。
数学与系统科学研究院 2019 年提前批招生考试试题 2
1. (10 分)
设 \(\lim_{j \to \infty} a_j = 0\)，\(0 < y < 1\)，求： $\(\lim_{y \to 1^-} (1-y) \sum_{j=1}^{\infty} a_j y^j\)$
2. (15 分)
设 \(I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx\)（\(n = 0, 1, 2, \ldots\)）
(1) 求 \(I_n\)；
(2) 求 \(\lim_{n \to \infty} n I_n^2\)；
(3) 估计 \(n!\)。
3. (15 分)
设 \(P\) 为从区间 \([0, \frac{\pi}{2}]\) 到 \((0, 1)\) 的单调递增连续可微函数 \(p(\theta)\) 全体构成的集合，且 \(p(0) = 0\)，\(p(\frac{\pi}{2}) = 1\)。设： $\(I(p) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(p'(\theta))^2 + (1 - p(\theta))^2}{2} d\theta\)$
(1) 求解极值问题 \(\inf_{p \in P} I(p)\)。
(2) 若 \(I(p(\theta))\) 与 \(\theta\) 无关，求 \(p(\theta)\)。
4. (15 分)
设 \(0 < a < b < \infty\) 为实数，\(K_{a,b}\) 为区间 \([a,b]\) 上满足 \(\int_a^b f(t) dt = 1\)，且 \(af(a) = bf(b)\) 的单调递减函数全体，求： $\(\sup_{f,g \in K_{a,b}} \int_a^b \max\{f(t), g(t)\} dt\)$
5. (15 分)
设 \(A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{C})\) 为 \(n \times n\) 复矩阵，满足 \(AB = 0\)，\(k\) 为正整数，请问以下关系 $\(\text{tr}((A + B)^k) = \text{tr}(A^k) + \text{tr}(B^k)\)$ 是否一定成立？说明理由。
6. (15 分)
(1) 设 \(S\) 为幂零矩阵，\(a_0 \neq 0\)，求 \((a_0 I + S)^{-1}\)。
(2) 设 \(A, B, C\) 为 \(n\) 阶方阵，求： $\(\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\)$
7. (15 分)
设 \(A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})\) 为 \(n \times n\) 复矩阵，满足 \(AA^* = A^*A\)。是否一定存在多项式 \(f\) 使得 \(A^* = f(A)\)？说明理由。
数学与系统科学研究院 2019 年夏令营招生考试试题
注： 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟
1. (15 分)
集合 \(\Omega_n = \{1, 2, \ldots, n\}\) 的一个分划是指一族非空集合 \(\{B_1, B_2, \ldots, B_k\}\) 满足 \(\bigcup_{i=1}^k B_i = \Omega_n\)，\(B_i \cap B_j = \emptyset\)（\(i \neq j\)）。记 \(T_n\) 为 \(\Omega_n\) 的分划个数，例如 \(T_1 = 1\)（因 \(\Omega_1 = \{1\}\)），\(T_2 = 2\)（因 \(\Omega_2 = \{1,2\} = \{1\} \cup \{2\}\)），\(T_3 = 5\)，求： $\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{T_n}{n!}\)$
2. (15 分)
设 \(0 < a_k < 1\)，\(k = 1, 2, \ldots\)，\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 1\)。记由 \(\{a_1, a_2, \ldots\}\) 的子序列和（即子级数）构成的集合为 \(S\)，求 \(S\) 的性质。
3. (10 分)
设 \(f\) 在 \([0, 2\pi]\) 上连续，\(f(0) = f(2\pi)\)，且 \(\int_0^{2\pi} f(t) dt = 0\)。探讨 \(\int_0^{2\pi} |f(t)|^2 dt\) 与 \(\int_0^{2\pi} |f'(t)|^2 dt\) 的关系，并解函数方程： $\(\int_0^{2\pi} |f'(t)|^2 dt = \int_0^{2\pi} |f(t)|^2 dt\)$
4. (15 分)
设 \(0 < a < b < \infty\) 为实数，\(K_{a,b}\) 为区间 \([a,b]\) 上满足 \(\int_a^b f(t) dt = 1\)，且 \(af(a) = bf(b)\) 的单调递减函数全体，求： $\(\sup_{f,g \in K_{a,b}} \int_a^b \max\{f(t), g(t)\} dt\)$
5. (10 分)
设 \(A\) 为方阵，\(\text{tr}(A)\) 为迹（对角元之和）。
(1) 讨论以下条件：存在 \(k\) 使得 \(A^k = 0\)。
(2) 讨论条件 \(\text{tr}(A^k) = 0\)（\(k = 1, 2, \ldots, n\)）。
讨论以上两个条件之间的关系。
6. (5 分)
计算： $\(\begin{vmatrix} 1 & 2019 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}^{2019}\)$
7. (10 分)
设 \(A\) 为复数域上 \(n\) 阶方阵，非零列向量 \(x \in \mathbb{C}^n\) 满足 \(Ax = \lambda x\)，\(\lambda \in \mathbb{C}\)。设 \(y \in \mathbb{C}^n\)，讨论矩阵 \(A\) 的特征值与矩阵 \(A + xy^*\) 的特征值之间的关系。
8. (10 分)
设 \(V, W\) 都是有限维线性空间，\(V^*\) 为 \(V\) 的对偶空间，\(L(V^*, W)\) 是从 \(V^*\) 到 \(W\) 的线性映照全体，\(B(V \times W, \mathbb{C})\) 是从 \(V \times W\) 到复数域 \(\mathbb{C}\) 的双线性映照全体。
讨论 \(L(V^*, W)\) 与 \(B(V \times W, \mathbb{C})\) 之间的关系。
9. (10 分)
设 \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)（题目不完整）
数学与系统科学研究院 2018 年夏令营招生考试试题
注： 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟
1. (15 分)
设 \(\Omega_n\) 是含有 \(n\) 个元素的集合，\(\{A_1, A_2, \ldots, A_k\}\) 称为 \(\Omega_n\) 的一个覆盖，如果 \(\bigcup_{i=1}^k A_i = \Omega_n\)，\(A_i \subset \Omega_n\) 非空，\(A_i \neq A_j\)（\(i \neq j\)）。记 \(C_n^k\) 为 \(\Omega_n\) 的 \(k\) 元覆盖个数。例如 \(C_2^1 = 1\)，\(C_2^2 = 3\)，求 \(C_3^k\)。
2. (10 分)
通过研究极限 \(\lim_{n \to \infty} n\sin(2\pi e n!)\) 证明 \(e\) 是无理数。
3. (15 分)
设 \(P\) 为从区间 \([0, 1]\) 到 \((0, 1]\) 的单调递增连续可微函数 \(p(\theta)\) 全体构成的集合，且 \(p(0) = 0\)，\(p(1) = 1\)。
(1) 求解极值问题 \(\inf_{p \in P} \int_0^1 I(p(\theta)) d\theta\)。
(2) 若 \(I(p(\theta))\) 与 \(\theta\) 无关，求 \(p(\theta)\)。
4. (15 分)
证明 \(\cos x\) 是超越函数。
（注：函数 \(f(x)\) 为超越函数，若不存在有限个非零的数 \(a_{ij}\)（\(i = 0,1,2,\ldots,m\)；\(j = 0,1,2,\ldots,n\)），使得 \(\forall x \in \mathbb{R}\)，\(\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n a_{ij} x^i f^j(x) = 0\)）
5. (15 分)
设 \(A, B, C \in M_{n \times n}(\mathbb{C})\) 为 \(n \times n\) 复矩阵，\(A^*\) 表示 \(A\) 的共轭转置。
(1) 讨论等式 \(AB = AC\) 与 \(A^*AB = A^*AC\) 的关系。
(2) 若 \(AB = AC\)，\(BA = B\)，求 \(A\) 与 \(C\) 的关系。
(3) 讨论等式 \(A^2B = BA^2\) 与 \(AB = BA\) 的关系，其中 \(A\) 为正定矩阵。
6. (15 分)
设 \(A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})\) 为任意 \(n \times n\) 复矩阵，满足 \(AA^* = A^*A\)。是否一定存在多项式 \(f\) 使得 \(A^* = f(A)\)？说明理由。
7. (15 分)
设 \(A = (a_{ij})\)，\(B = (b_{ij}) \in M_{n \times n}\) 为 \(n \times n\) 实矩阵，定义 \(A \circ B = (a_{ij}b_{ij})\)。判断以下论断的对错，并给出理由。
(1) \(A \circ B\) 为正定矩阵。
(2) \(A \circ A' \geq I\)。
(3) \(A^2 \circ B^2 \geq I\)，此处正定矩阵 \(A, B\) 对角线上的元素均为 \(1\)。
数学与系统科学研究院 2017 年提前批招生考试试题 1
注： 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟
1. (15 分)
计算极限：
(1) $\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x e^{-t^2} dt - \sin x}{\sin^2 x - x^2}\)$
(2) $\(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n}\right)\)$
2. (20 分)
计算积分：
(1) $\(\int_0^1 (\ln x)^m dx\)$ 其中 \(m, n\) 为自然数。
(2) 计算二重积分 \(\iint_D \sqrt{|y - 2x^2|} dxdy\)，其中 \(D = \{(x,y) \mid |x| \leq 1, 0 \leq y \leq 2\}\)。
3. (10 分)
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上二次连续可微，并且 \(f(a) = f(b) = 0\)，证明不等式： $\(M^2 \leq \frac{(b-a)^3}{12} \int_a^b |f''(x)|^2 dx\)$
其中 \(M = \sup_{a \leq x \leq b} |f(x)|\)。
4. (20 分)
设 \(n\) 为自然数，\(A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})\) 是一个 \(n\) 阶实对称矩阵。
(1) 证明存在 \(n\) 个实特征值 \(\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n\) 和相应的特征向量 \(\{u_1, u_2, \ldots, u_n\}\) 可以组成空间 \(\mathbb{R}^n\) 的一组标准正交基。
(2) 对于向量 \(v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\)，定义向量范数为 \(\|v\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}\)。对任意的向量 \(v\) 和实数 \(\mu\)，定义 \(\theta = \frac{|Av - \mu v|}{\|v\|}\)。证明存在矩阵 \(A\) 的一个特征值 \(\lambda\) 使得如下的不等式成立： $\(|\mu - \lambda| \leq \theta\)$
5. (15 分)
(1) 设 \(A, B\) 分别是复数域上的 \(k\) 阶和 \(l\) 阶方阵，且它们没有共同的特征值，证明 \(AX = XB\) 只有零解，其中 \(X\) 为 \(k \times l\) 阶矩阵。
(2) 设 \(M_{n \times n}(\mathbb{R})\) 上的线性变换 \(G\) 定义为 \(G(X) = AX + XA\)，这里 \(X, A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})\)，\(A\) 为固定矩阵且 \(A\) 的特征值不是 \(-A\) 的特征值，证明：\(G\) 是一个可逆的线性变换。
6. (20 分)
证明如下两个结论：
(1) 设 \(f\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 上的一个正交变换，证明：\(f\) 的不变子空间的正交补也是 \(f\) 的不变子空间。
(2) 令 \(A = (a_{ij}) \in M_n(\mathbb{C})\)，若 \(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}\)，则有 \(\det(e^A) = e^{\text{tr}(A)}\)。
数学与系统科学研究院 2017 年提前批招生考试试题 2
注： 本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟
1. (20 分)
设实数域上的 \(s \times n\) 矩阵 \(A\) 的元素只有 \(0\) 和 \(1\)，并且 \(A\) 的每一行元素的平方和为常数 \(r\)，\(A\) 的任意两个行向量的内积为常数 \(\lambda\)，且 \(\lambda < r\)。
(1) 求行列式 \(\det(AA^T)\)。
(2) 证明：\(s \leq n\)。
(3) 证明：\(A\) 的特征值都是实数。
2. (20 分)
设 \(A, B, C\) 为 \(n\) 阶方阵，\(AB = 2B\)，\(AC = C\)。若 \(\text{rank}(B) + \text{rank}(C) = n\)，证明 \(A\) 可对角化，并求其对角化矩阵。
3. (10 分)
设 $\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)$
(1) 证明：\(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) = \ln 2\)。
(2) 求 \(A^{2017}\)。
4. (20 分)
设 \(x_0 = 1\)，\(x_{n+1} = \frac{x_n}{2 + x_n}\)，\(n = 0, 1, 2, \ldots\)。证明当 \(n \to +\infty\) 时 \(x_n\) 收敛，并求出该极限。
5. (15 分)
设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且在 \((a,b)\) 上有 \(7\) 个互不相同的零点。又设： $\(\int_a^b x^k f(x) dx = 0, \quad k = 0, 1, \ldots, 6\)$
证明：\(f(x) \equiv 0\)。
6. (15 分)
设 \(f\) 是 \([0,1]\) 上连续实函数，计算下列极限并证明你的结论：
(1) $\(\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n f(x) dx\)$
(2) $\(\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 x^n f(x) dx\)$
数学与系统科学研究院 2017 年提前批招生考试试题 3
1. (20 分)
(1) 求极限：\(\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}\)
(2) 求导数：\(f(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} + a^x\)
(3) 求：\(\frac{d}{dy} \int_a^y \sqrt{1+x^2} dx\)
(4) 设 \(f\) 是 \([a,b]\) 上的连续单调增函数，证明： $\(\int_a^b x f(x) dx \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) dx\)$
2. (10 分)
设 $\(A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\)$
求 \(A + B\) 的 Jordan 标准形。
3. (题目分值未标注)
设 \(A > 0\)，\(AC - B^2 > 0\)，求平面曲线 \(Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 = 1\) 所围图形面积。
4. (20 分)
设有实二次型 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x^T A x\)，其中 \(A = (a_{ij})\) 是 \(n\) 阶正定实对称矩阵，求证下列实二次型是负定型： $\(g(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & x_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & x_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & x_n \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 0 \end{vmatrix}\)$
5. (15 分)
设 \(f(t) = \int_0^{\infty} \frac{\cos(tx)}{1+x^2} dx\)
(1) 证明：\(f(t)\) 是连续函数。
(2) 求极限 \(\lim_{t \to \infty} f(t)\)。
(3) 证明：\(f(t)\) 在 \([0, \pi]\) 上有零点。
6. (10 分)
设 \(A, B\) 是线性空间 \(V\) 到 \(V\) 的线性变换，\(A(V) \subset B(V)\)。证明：存在 \(V\) 上的线性变换 \(D\)，使得 \(A = BD\)。
7. (15 分)
设正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散，其中 \(a_n < M\)。
(1) (7 分) 证明：\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n}\) 发散，其中 \(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)。
(2) (8 分) 证明：\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n^2}\) 收敛。
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