泛函分析学期笔记

1度量空间

定义，完备性

包含完备空间、度量空间定义及紧性、收敛性的讨论：

1. 核心空间与结构

• 完备空间：Banach 空间（完备赋范线性空间）、Hilbert 空间（完备内积空间）；

• 度量空间：二元组 (X,ρ)，其中 ρ:X×X→R 满足：

• 正定性：ρ(x,y)≥0，且 ρ(x,y)=0⟺x=y；

• 对称性：ρ(x,y)=ρ(y,x)；
• 三角不等式：ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)。

2. 函数空间的度量与紧性

• 连续函数空间 *C[a,b]*：度量通常取 一致度量 ρ(f,g)=supx∈[a,b]∣f(x)−g(x)∣，此时 C[a,b] 是 完备 的（Cauchy 列一致收敛到连续函数）；

• *Lp* 空间：度量由 Lp 范数诱导 ρ(f,g)=∥f−g∥p=(∫∣f−g∣pdx)p1；

• 紧性讨论：

• C[0,1] 的子集 X 何时有收敛子列（需满足等度连续、一致有界等 Arzelà-Ascoli 条件）；

• Lp(0,1) 的子集 X 何时有（强 / 弱）收敛子列（需结合积分的一致绝对连续性、范数有界等条件）。

3. 完备性与 Cauchy 列

• 完备性定义：空间中所有 Cauchy 列都收敛；
• *C[a,b]* 的完备性证明思路：若 {xn(t)} 是 C[a,b] 中的 Cauchy 列，则对任意 t，{xn(t)} 是 R 中的 Cauchy 列（因 R 完备，故点态收敛到 x(t)），再通过一致收敛性证明 x(t) 连续，即 max∣xn(t)−x(t)∣→0。

不动点定理

. 赋范空间与连续性

• 赋范线性空间可**自然诱导度量**：由范数 ∥⋅∥ 定义 ρ(x,y)=∥x−y∥；
• 当赋范空间对该度量**完备**时，称为 Banach 空间；
• 连续映射：设 T:(X,ρ)→(Y,ρ2)，若对任意 ε>0，存在 δ>0，使得当 ρ(x,y)<δ 时，ρ2(Tx,Ty)<ε，则称 T 连续。

2. 压缩映射定理（Banach 不动点定理）

设 (X,ρ) 是**完备度量空间**，映射 T:X→X 满足**压缩条件**：存在 λ∈(0,1)，使得对所有 x,y∈X，有

ρ(Tx,Ty)≤λρ(x,y),

则 T 存在**唯一不动点**（即存在唯一 x∗∈X，使 Tx∗=x∗）。

3. 常微分方程的不动点形式

常微分方程（如积分方程、初值问题）可转化为**不动点问题**：

• 例如，初值问题 x(t)=f(t,x(t))，x(0)=x0，可通过迭代构造不动点序列：

xn+1(t)=s+∫0tF(x0,t,xn(t))dt,

若

F

满足

压缩性条件

（如

∣F′(x)∣≤λ<1

），则可通过压缩映射定理证明解的存在唯一性。

4.不动点理论的证明

包含度量空间完备化的核心步骤、等距同构思想，及 ε - 网的概念： 1. 不完备空间的示例 以连续函数空间 (C[a,b],ρ 1 ​ ) （ ρ 1 ​

为 L 1 ​

度量，即 ρ 1 ​ (f,g)=∫ a b ​ ∣f(x)−g(x)∣dx ）为例： 取连续函数列 f n ​ (x)=x n

（ x∈[0,1] ），计算 ∫ 0 1 ​ ∣x n −0∣dx= n+1 1 ​ →0 ，故 {f n ​ } 是 L 1 ​

下的基本列； 但 f n ​ (x) 的极限函数为 f(x)={ 0, 1, ​

x∈[0,1) x=1 ​

，不连续，即 (C[a,b],ρ 1 ​ ) 中基本列不收敛到连续函数，故不完备。 2. 度量空间的完备化步骤 对一般度量空间 (X,ρ) ，完备化需构造 “等价类空间” X 1 ​

： 定义等价关系：称基本列 {ξ n ​ },{η n ​ } 等价，若 ρ(ξ n ​ ,η n ​ )→0 ； 构造新空间 X 1 ​

： X 1 ​

为所有等价类 x ~

的集合（ x ~

包含所有与 {x n ​ } 等价的基本列）； 定义新度量 ρ ′

：对 ξ ~ ​ , η ~ ​ ∈X 1 ​

，取代表列 {ξ n ​ }∈ ξ ~ ​ ,{η n ​ }∈ η ~ ​

，令 ρ ′ ( ξ ~ ​ , η ~ ​ )=lim n→∞ ​ ρ(ξ n ​ ,η n ​ ) （极限存在且与代表列选择无关）； 验证完备性： (X 1 ​ ,ρ ′ ) 是完备度量空间，且原空间 X 可通过 “常列嵌入”（ x↦ x ~

，其中 x ~

包含常列 {x,x,…} ）成为 X 1 ​

的稠密子空间。 3. 等距同构与 ε - 网 等距同构：嵌入映射 x↦ x ~

是等距的（保持度量 ρ(x,y)=ρ ′ ( x ~ , y ~ ​ ) ），故 X 与 X 1 ​

的稠密子空间 “等距同构”； ε - 网：对集合 M ，若存在子集 N⊂M ，使得 ∀x∈M,∃y∈N 满足 ρ(x,y)<ε ，则称 N 是 M 的 ** ε - 网 **（体现集合的 “覆盖稠密性”）

列紧性

有关定义

紧性：任意取一个开覆盖，都存在一个有限的子覆盖 列紧性：任意一个在该集合之内的无限序列，都存在一个子序列收敛到某个点 自列紧性：当子序列收敛点存在，且在这个集合之内 \(\varepsilon\)-网,对于集合M，考虑一个子集合X，\(\forall x \in M,\exist y\in X,\rho(x,y)<\varepsilon\) 完全有界：对于任意的\(\varepsilon\),其\(\varepsilon\)-网是有限的 等度连续：对于一个函数列，\(\forall f_n,\varepsilon,\exist \delta,|x-y|<\delta,|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon\)

定理的证明

主要结论：\(Arzela-Ascoli\)引理：紧集M上的连续函数列{\(f_n\)}\(\subset C(M)\)是一个列紧集，当且仅当这个函数列一致有界且等度连续

引理1：对于完备度量空间，一个集合列紧当且仅当它是一个完全有界集

首先证明必要性：若这个集合不满足完全有界性，则存在一个\(\varepsilon_0\)，依次选取\(x_k\),\(\rho(x_k,x_i)>\varepsilon_0,i=1,2,\cdots,k-1\),那么对于这个无限点列，不会满足Cauchy条件，即\(\exist N,m,n>N,\rho(x_m,x_n)\le\varepsilon_0\)因此这不会存在收敛子列，不满足列紧性

其次，若M是一个完全有界集合，则可以选取一个\(\frac{1}{k}\)网络

对于每个\(\frac{1}{k}\)网络，每个无限点列，都存在一个无限子序列，全部在\(B(y_k,\frac{1}{k})\)之内

依次构造，首先从{\(x_n\)}子序列之中找出{\(x_n^{(1)}\)},全部在\(B(y_1,1)\)之内，其次在{\(x_n^{(1)}\)}中找出子序列{\(x_n^{(2)}\)}，在\(B(y_2,\frac{1}{2})\)之内，因此得到一系列的子序列

最后，通过对角化，选取{\(x_k^{(k)}\)}，而这实际上是一个基本序列，当空间完备时，这确实是一个收敛子序列，因此原完全有界集合具有列紧性

引理2：连续函数(C(M),d)是一个完备度量空间

1. 列紧性与紧性的关系 列紧性定义：集合中任意序列都存在收敛子列（子列极限需在空间内）； 紧集与列紧集的等价性（度量空间中）：紧集（任意开覆盖有有限子覆盖）等价于自列紧集（任意序列有收敛子列，且子列极限在集合内）。 反证法证明 “紧集 ⇒ 列紧集”：若集合 M 是紧集但非列紧，取序列 {x n ​ }⊂M 无收敛子列，则对每个 x∈M ，存在 ε x ​

   0 ，使得 B(x,ε x ​ ) 中仅含 {x n ​ } 的有限项。开集族 {B(x,ε x ​ )∣x∈M} 是 M 的开覆盖，但无法选出有限子覆盖（因每个开集仅含有限个 x n ​

），与 M 紧矛盾。 2. 函数空间的列紧性（Arzelà-Ascoli 定理） 对连续函数空间 C( Ω ) （ Ω

是紧集），集合 F⊂C( Ω ) 列紧的充要条件是： F 一致有界（ ∃M>0 ，使 ∣f(x)∣≤M,∀f∈F,x∈ Ω

）； F 等度连续（ ∀ε>0,∃δ>0 ，使 ∣x−y∣<δ 时， ∣f(x)−f(y)∣<ε,∀f∈F ）。 （注：笔记中 “等度可积”“ L p

空间列紧性” 需结合具体空间条件， L p

空间列紧性通常与积分的一致绝对连续性、范数有界性相关。） 3. 开覆盖与有限子覆盖（紧集的开覆盖性质） 若 {x n ​ } 无收敛子列，构造开集族 {X∖S k ​ } （ S k ​

是含前 k 项的闭集），则 ⋃(X∖S k ​ ) 是开覆盖；由紧性，存在有限子覆盖 ⋃ n=1 N ​ (X∖S n ​ )⊃M ，从而推出矛盾（剩余项 {x n ​ } n>N ​

无法被覆盖）。

1. 列紧性的核心概念 度量空间中，列紧性等价于自列紧性：集合中任意序列都存在收敛子列（子列收敛到集合内的点）。 函数空间的列紧条件：以 C( Ω ) （连续函数空间）、 L p ( Ω ) （ 1≤p≤∞ ，可积函数空间）为例，需满足特定的 “等度” 条件才列紧。
2. Arzelà-Ascoli 定理（连续函数空间的列紧性） 若函数族 {f n ​ }⊂C( Ω ) 满足： 等度有界：存在常数 C ，使 ∥f n ​ ∥≤C （或积分范数 ∥f n ​ ∥ 1 ​ ≤C 等）； 等度连续：对任意 ε>0 ，存在 δ>0 ，使对所有 f n ​

，当 ∣x−y∣<δ 时， ∣f n ​ (x)−f n ​ (y)∣<ε ； 则 {f n ​ } 是列紧集（存在收敛子列，收敛到连续函数）。 3. 紧集与列紧集的等价性（反证法） 紧集 ⇔ 自列紧集，证明核心： 若集合是紧集（任意开覆盖有有限子覆盖），反证其为列紧集：假设存在序列 {x n ​ } 无收敛子列，则对任意 x∈X ，存在 ε 0 ​

0 使 x∈ / ⋂ k=1 ∞ ​ ⋃ n=k ∞ ​ B(x n ​ ,ε 0 ​ ) 。构造开集 X∖S k ​

（ S k ​ ={x n ​ } n≥k ​

为闭集，因无收敛子列），其构成开覆盖但无有限子覆盖，与紧集矛盾。 若集合是自列紧集（任意序列有收敛子列），可证明其为紧集（通过子列收敛性构造有限开覆盖

）

凸集分离定理

凸集分离定理与 Hahn-Banach 定理） 包含赋范线性空间中凸集分离的核心结论与思路： 1. 凸集分离定理（核心结论） 设 E 1 ​ ,E 2 ​

是赋范线性空间（ B ∗

空间）中互不相交的非空凸集，且 E 1 ​

有内点，则存在非零连续线性泛函 f 与实数 s ，使得： f(x)≤s,∀x∈E 1 ​ ;f(x)≥s,∀x∈E 2 ​ . （即泛函 f 与常数 s 分离了凸集 E 1 ​

和 E 2 ​

） 2. 证明思路（Hahn-Banach 定理的几何应用） 凸集分离定理的证明通常借助 Hahn-Banach 定理的几何形式： 先构造包含其中一个凸集（如 E 1 ​

）与另一个凸集（如 E 2 ​

）“差集” 的凸集； 利用 Hahn-Banach 定理（保范延拓或几何分离性），得到分离两个凸集的线性泛函。 3. 相关概念补充 B ∗

空间：赋范线性空间（定义了范数 ∥⋅∥ 的线性空间，用于度量元素 “长度”）； 凸集：集合中任意两点的连线都包含于集合内；内点：存在邻域完全包含于集合内。

N变分法

1. 变分泛函的一阶变分

设 u:X→R 是函数，定义**能量泛函**：

J(u)=21∫X∣∇u∣2dx

（∇u 为 u 的梯度，积分是对空间区域 X 的积分）。

对泛函做**一阶变分**（即加扰动 u+tv，v 为测试函数，t 为小参数），展开得：

J(u+tv)=21∫X∣∇(u+tv)∣2dx=∫X(∇u+t∇v)⋅(∇u+t∇v)dx=∫X∣∇u∣2+2t∇u⋅∇v+t2∣∇v∣2dx.

若泛函在 u 处取极值，则一阶变分的线性项系数为 0，即：

2∫X∇u⋅∇vdx=0(∀测试函数 v),

由此可推出 ∇u=0（若 u 足够光滑）。

2. 弱导数与积分恒等式

利用**分部积分**（或 Green 公式），梯度的积分与 Laplace 算子 Δ 相关联，满足：

∫XΔu⋅vdx=∫Xu⋅∇vdx

（Δu 是 u 的 Laplace 算子，即 Δu=∇⋅∇u）。

3. 弱收敛与度量空间

笔记提及 “un⇀Wu”（弱收敛，即函数列在对偶空间下的收敛），以及 “度量空间的定义”（未展开，指赋予距离结构的集合，满足距离三公理）。